Đại số tuyến tính Ví dụ

$8 x + 13 y = 312.6$ , $10 x + 15 y = 369$

Bước 1

Tìm $A X = B$ từ hệ phương trình.

$[\begin{array}{c} 8 & 13 \\ 10 & 15 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 312.6 \\ 369 \end{array}]$

Bước 2

Tìm nghịch đảo của ma trận hệ số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Bước 2.2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$8 \cdot 15 - 10 \cdot 13$

Bước 2.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $8$ với $15$ .

$120 - 10 \cdot 13$

Bước 2.2.2.1.2

Nhân $- 10$ với $13$ .

$120 - 130$

Bước 2.2.2.2

Trừ $130$ khỏi $120$ .

$- 10$

Bước 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

Bước 2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

Bước 2.6

Nhân $- \frac{1}{10}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{10}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.2

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (2)} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.3

Đưa $5$ ra ngoài $15$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.1.5

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 3 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.2

Kết hợp $\frac{- 1}{2}$ và $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.5

Nhân $- \frac{1}{10} \cdot - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.5.1

Nhân $- 13$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 13 (\frac{1}{10}) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.5.2

Kết hợp $13$ và $\frac{1}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.6

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{10}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.6.2

Đưa $10$ ra ngoài $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 (- 1)) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.6.4

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.8.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{10}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.8.2

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot 8 \end{array}]$

Bước 2.7.8.3

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Bước 2.7.8.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Bước 2.7.8.5

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{5} \cdot 4 \end{array}]$

Bước 2.7.9

Kết hợp $\frac{- 1}{5}$ và $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1 \cdot 4}{5} \end{array}]$

Bước 2.7.10

Nhân $- 1$ với $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 4}{5} \end{array}]$

Bước 2.7.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}]$

Bước 3

Nhân vào phía bên trái hai vế phương trình với ma trận nghịch đảo.

$([\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 & 13 \\ 10 & 15 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 312.6 \\ 369 \end{array}]$

Bước 4

Bất kỳ ma trận nào nhân với nghịch đảo của nó cũng sẽ luôn bằng $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 312.6 \\ 369 \end{array}]$

Bước 5

Nhân $[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 312.6 \\ 369 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Bước 5.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} \cdot 312.6 + \frac{13}{10} \cdot 369 \\ 1 \cdot 312.6 - \frac{4}{5} \cdot 369 \end{array}]$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $87$ ở dạng $1 (87)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{54}{5} \\ \frac{1 (87)}{5} \end{array}]$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Viết lại $5$ ở dạng $1 (5)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{54}{5} \\ \frac{1 \cdot 87}{1 \cdot 5} \end{array}]$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{54}{5} \\ \frac{1 \cdot 87}{1 \cdot 5} \end{array}]$

Bước 5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{54}{5} \\ \frac{87}{5} \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn vế trái và vế phải.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{54}{5} \\ \frac{87}{5} \end{array}]$

Bước 7

Tìm đáp án.

$x = \frac{54}{5}$

$y = \frac{87}{5}$